Processus de Poisson \((N_t)_{t\geqslant0}\) de paramètre \(\lambda\gt 0\)
Famille de Variable aléatoires définie par : $$N_t=\operatorname{Card}\{n\in{\Bbb N}\mid T_n\leqslant t\}\quad\text{ avec }\quad T_k=\sum_{i\leqslant k}U_i\quad\text{ et }\quad U_i\sim\operatorname{Exp}(\lambda)$$

• on a \(T_n\sim\) \(\operatorname{Gamma}(n,\lambda)\) et \(N_t\sim\) \(\mathcal{Pois}(\lambda t)\)
• la loi de \((T_1,\dots,T_n)\) sachant \(\{N_t=n\}\) a pour densité \(\frac{n!}{t^n}\Bbb 1_{\{0\leqslant t_1\leqslant\dots\leqslant t_n\leqslant t\} }\)
• on peut poser \(s\geqslant0\), \(N^\prime_t=N_{s+t}-N_s\), et encore avoir un processus de Poisson
    
• cela est lié à l'absence de mémoire des lois exponentielles

Questions de cours

Montrer que dans un processus de Poisson, \(T_n\sim\) \(\operatorname{Gamma}(n,\lambda)\).

Remarquer que la loi exponentielle est un cas particulier de loi gamma.

Utiliser le fait que les lois gammas forment un Semigroupe de convolution.

Montrer que dans un processus de Poisson, \(N_t\sim\) \(\mathcal{Pois}(\lambda t)\).

Trouver une écriture de l'événement \(\{N_t=n\}\).

Calculer la loi correspondante via une IPP.