Processus de Poisson
Processus ponctuel pour lequel $$\{N_{s_i}-N_{s_{i+1} }\}_{1\leqslant i\leqslant s}\text{ indépendantes}\quad\text{ et }\quad\exists\lambda\gt 0,\forall s,N_s\sim\mathcal{Pois}(s\lambda)$$
- si on note \(\tau_i:=\) \(T_{i+1}-T_i\), alors \(\tau_i\sim\) \(\mathcal Exp(\lambda)\)
- propriété importante : absence de mémoire
- construction alternative : on construit \(\{\tau_i\}_{i\geqslant0}\sim\mathcal Exp(\lambda)\) iid sur \([0,1]\) en prenant \(N_t\sim\mathcal{Pois}(\lambda)\), et en plaçant \(N_t\) points \(U_1,\dots,U_{N_t}\) aléatoires uniformément sur \([0,t]\)
- Transformée de Laplace : $$\mathcal L_N(f)=\exp\left(-\int_{{\Bbb R}_+}\lambda(1-e^{-f(x)})\,dx\right)$$
- corollaire : \(N(C)\sim\) \(\mathcal{Pois}(\lambda\int_C\,dx)\)
- généralisation à \({\Bbb R}^d\) : on pose \(\lambda:{\Bbb R}^d\to{\Bbb R}_+\) tq \(\lambda\in L^1_\text{loc}\), et pour \(C_i\in{\Bbb R}^d\) (disjoints), on a \(N(C_i)\sim\mathcal{Pois}(\int_{C_i}\lambda(x)\,dx)\) indépendants
- on a existence d'un tel processus, et sa Transformée de Laplace est : $$\mathcal L_N(f)=\exp\left(-\int_{{\Bbb R}^d}\lambda(x)(1-e^{-f(x)})\,dx\right)$$
Exercices
